Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，是棱的中點，且，．

（1）求證：平面．

（2）求二面角的大小；

（3）如果是棱的中點，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連結，由已知數據和勾股定理可得，可得，再由線面垂直關系可得平面；

（2）如圖建立空間直角坐標系，由數量積和垂直關系可得平面的法向量，又可得是平面的一個法向量，求解，可得二面角的大小；

（3）由是棱的中點，可設，，設直線與平面所成角為，由，求解可得答案．

（1）證明：連結，

在中，，，

，，

，，

又底面，，

，

平面；

（2）如圖建立空間直角坐標系，

則，

是棱的中點，，

，．

設為平面的法向量，

，即，

令，則，

平面的法向量

平面，

是平面的一個法向量．

，

二面角 為銳二面角，

二面角的大小為.

（3）解：是棱的中點，

設，，

設直線與平面所成角為，

由．

直線與平面所成角的正弦值為．