Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n,a₁=1,a_n+1=2S_n+1(n≥1,n∈N^*),則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是_______.

Answer 1

a_n=3^n-1

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)a_n和S_n的關(guān)系轉(zhuǎn)換a_n+1=2S_n+1(n≥1)為a_n+1與a_n的關(guān)系或者S_n+1與S_n的關(guān)系.
解:方法一:由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1(n≥2),兩式相減得a_n+1-a_n=2a_n,a_n+1=3a_n(n≥2).
又a₂=2S₁+1=3,
∴a₂=3a₁,故{a_n}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,
∴a_n=3^n-1.
方法二:由于a_n+1=S_n+1-S_n,
a_n+1=2S_n+1,
所以S_n+1-S_n=2S_n+1,S_n+1=3S_n+1,
把這個(gè)關(guān)系化為S_n+1+=3(S_n+),
即得數(shù)列{S_n+}為首項(xiàng)是S₁+=,
公比是3的等比數(shù)列,故S_n+=×3^n-1=×3ⁿ,
故S_n=×3ⁿ-.
所以,當(dāng)n≥2時(shí),a_n=S_n-S_n-1=3^n-1,
由n=1時(shí)a₁=1也適合這個(gè)公式,知所求的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=3^n-1.
【方法技巧】a_n和S_n關(guān)系的應(yīng)用技巧
在根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)a_n與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),要考慮兩個(gè)方面,一個(gè)是根據(jù)S_n+1-S_n=a_n+1把數(shù)列中的和轉(zhuǎn)化為數(shù)列的通項(xiàng)之間的關(guān)系;一個(gè)是根據(jù)a_n+1=S_n+1-S_n把數(shù)列中的通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為前n項(xiàng)和的關(guān)系,先求S_n再求a_n.