Question

（2012•閔行區三模）某藥廠在動物體內進行新藥試驗．已知每投放劑量為m的藥劑后，經過x小時該藥劑在動物體內釋放的濃度y（毫克/升） 滿足函數y=mf（x），其中f（x）=

- 1 2 x2+2x+5(0＜x≤4) -x-lgx+10(x＞4)

．當藥劑在動物體內中釋放的濃度不低于4（毫克/升）時，稱為該藥劑達到有效．
（1）若m=2，試問該藥達到有效時，一共可持續多少小時（取整數小時）？
（2）為了使在8小時之內（從投放藥劑算起包括8小時）持續有效，求應該投放的藥劑量m的最小值（m取整數）．

Answer 1

分析：（1）由題設知m=2時，y=

-x2+4x+10，(0＜x≤4) -2x-2lgx+20，x＞4

，由此進行分類討論，能求出該藥劑達到有效時，一共可持續多少小時．
（2）由y=m•f（x）=

- m 2 (x-2)2+7m，0＜x≤4 -mx-mlgx+10m，x＞4

，進行分類討論，能求出為了使在8小時之內達到有效，投放的藥劑劑量m的最小值．

解答：解：（1）∵每投放劑量為m的藥劑后，
經過x小時該藥劑在動物體內釋放的濃度y（毫克/升） 滿足函數y=mf（x），
其中f（x）=

- 1 2 x2+2x+5(0＜x≤4) -x-lgx+10(x＞4)

，
∴m=2時，y=

-x2+4x+10，(0＜x≤4) -2x-2lgx+20，x＞4

，
當0＜x≤4時，10≤-x²+4x+10≤14，符合題意，（2分）
當x＞4時，通過計算器由-2x-2lgx+20≥4，解得：4＜x≤7，（4分）
綜上0＜x≤7，所以該藥劑達到有效時，一共可持續7小時．（6分）
（2）由y=m•f（x）=

- m 2 (x-2)2+7m，0＜x≤4 -mx-mlgx+10m，x＞4

，（8分）
知在區間（0，4]上，有5m≤y≤7m，
在區間（4，8]上單調遞減，即-8m-mlg8+10m≤y＜-4m-mlg4+10m，（10分）
為使y≥4恒成立，只要5m≥4且-8m-mlg8+10m≥4，（12分）
即m≥

4

5

且m≥

4

2-3lg2

，求得：m≥4．
答：為了使在8小時之內達到有效，投放的藥劑劑量m的最小值為4．（14分）

點評：本題考查函數在生產生活中的實際應用，解題時要認真審題，仔細分析數量間的相互關系，合理地進行等價轉化．