Question

【題目】設等差數列的公差,前項和為,且滿足,

（1）試尋找一個等差數列和一個非負常數,使得等式對于任意的正整數恒成立,并說明你的理由；

（2）對于（1）中的等差數列和非負常數,試求（）的最大值.

Answer 1

【答案】（1），詳見解析（2）

【解析】

（1）由,,可得,,解得.可得.由對于任意的正整數恒成立,可得.分別令,及其,即可解得.

（2）由（1）可得：,,,公差.可得.于是.令,（）,利用導數研究其單調性最值即可得出.

解：（1）,,

,,

解得,.

.

.

對于任意的正整數恒成立,

.

分別令,則,,.

可得,,.

數列是等差數列，

.

化為：,解得或.

，

.

（2）由（1）可得：,,,公差.

.

.

令,（）,

,

可得：時,,函數單調遞減；

時,,函數單調遞增.

又,.

因此當時,時,取得最小值，

故時，取得最大值.