Question

【題目】已知橢圓經過點，且長軸長是短軸長的2倍．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點在橢圓上運動，點在圓上運動，且總有，求的取值范圍；

（3）過點的動直線交橢圓于、兩點，試問：在此坐標平面上是否存在一個點，使得無論如何轉動，以為直徑的圓恒過點？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）（3）存在，

【解析】

（1）根據長軸長是短軸長的2倍，可得之間的關系，把點的坐標代入橢圓方程中，這樣可以求出的值，進而求出橢圓的標準方程；

（2）設，求出圓的圓心坐標，根據兩點間距離公式寫出的表達式，根據橢圓的范圍，求出的取值范圍，根據圓的半徑和的大小關系，進行分類討論，最后求出的取值范圍；

（3）由對稱性可知，點一定位于軸上，設，，，

根據題意可以判斷，根據直線是否存在斜率進行分類討論.當存在斜率時，直線方程與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系，結合，可以判斷存在定點滿足題意，并求出定點；當不存在斜率時，解方程組，最后判斷是否滿足剛得到定點條件.

（1）因為長軸長是短軸長的2倍，所以有，橢圓過點

，所以有：所以橢圓的標準方程為；

（2）設，，

則，，

∴，∴，

①時，，

②時，，

綜上，．

（3）由對稱性可知，點一定位于軸上，

設，，，

則（*），

①的斜率存在時，設，代入橢圓方程，

得，

，

則（*）式為，

即，

，

整理，得，

∴，得．

②的斜率不存在時，，代入橢圓方程，得，

∴此時以為直徑的圓的方程為，也經過點．

綜上，存在滿足題設條件．