Question

【題目】已知函數．

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）若不等式對任意恒成立，求正整數的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）1

【解析】

（1）求出切線斜率，切點坐標，即可求得切線方程；

（2）分離參數得對恒成立，構造新的函數，對求導，得，再構造函數.再求，分析的單調性，利用零點存在定理發現在區間上存在一個零點，由得.同時可得時，單調遞增，時，單調遞減，則，則.又因為，m為正整數，所以的最小值是1.

解：（1），

切線的斜率為，

又，

所求切線的方程為；

（2）當時，整理可得，

令，則，

令，則，

由，得，

當時，，函數單調遞減，

，，

在區間上存在一個零點，

此時，即，

當時，，即，函數單調遞增，

當時，，即，函數單調遞減，

有極大值，即最大值為

，

則，

，

正整數的最小值是1.