Question

【題目】如圖，圓臺O1O2的軸截面為等腰梯形A1A2B2B1，A1A2B1B2，A1A2＝2B1B2，A1B1＝2，圓臺O1O2的側面積為6π.若點C，D分別為圓O1，O2上的動點且點C，D在平面A1A2B2B1的同側.

（1）求證：A1C⊥A2C；

（2）若∠B1B2C＝60°，則當三棱錐C﹣A1DA2的體積取最大值時，求A1D與平面CA1A2所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）設圓O1，O2的半徑分別為r，2r，由題意可得r＝1，則，，，連接O1O2，O1C，O2C，可得O1O2⊥O1C，由此可證結論；

（2）由題意可求得點D為弧A1A2的中點時，V有最大值，連接DO2，以點O2為坐標原點，以O2D，O2A2，O2O1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量即可求得線面角．

（1）證：設圓O1，O2的半徑分別為r，2r，

∵圓臺的側面積為6π，

∴，解得r＝1，

∴在等腰梯形A1A2B2B1中，，

連接O1O2，O1C，O2C，在圓臺O1O2中，O1O2⊥平面B1CB2，O1C在平面B1CB2內，

∴O1O2⊥O1C，

又O1C＝1，故在△O1CO2中，CO2＝2，

在△CA1A2中，，故∠A1CA2＝90°，即A1C⊥A2C；

（2）解：由題意可知，三棱錐C﹣A1DA2的體積為，

又在Rt△A1DA2中，，當且僅當時取等號，

即點D為弧A1A2的中點時，V有最大值，

連接DO2，∵O1O2⊥平面A1DA2，DO2⊥O2A2，

∴以點O2為坐標原點，以O2D，O2A2，O2O1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A1（0，﹣2，0），A2（0，2，0），D（2，0，0），由∠B1B2C＝60°，可知，

設平面CA1A2的一個法向量為，則，可取，

∴，

∴A1D與平面CA1A2所成角的正弦值為.