Question

【題目】已知函數.

（1）試討論的單調性；

（2）若函數在定義域上有兩個極值點，試問：是否存在實數，使得？

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）存在；

【解析】

（1）求得函數的導數，結合基本不等式，分類討論，即可得出函數的單調區間；

（2）由函數在定義域上有兩個極值點，即方程在上有兩個不相等的實數根，轉化為方程在上有兩個不相等實數根，結合二次函數的性質，求得，令，即可求解.

（1）由題意，函數的定義域為，

則，

因為，當且僅當，即時取“等號”，

所以，

當時，在上恒成立，則此時在上單調遞增，

當時，，

令，解得，，

由，

而，故.

由可得或，

即此時在，上單調遞增；

由可得，

即此時在上單調遞減；

綜上所述，當時，在上單調遞增；

當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.

（2）因為，

由題知方程在上有兩個不相等的實數根，

即方程在上有兩個不相等實數根，

因此有，解得，

這時，，

于是

.

令，解得，滿足.

所以存在實數，使得.