Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程是 (為參數)，以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為

（Ⅰ）求曲線的普通方程與直線的直角坐標方程；

（Ⅱ）已知直線與曲線交于兩點，點是線段的中點，直線與軸交于點，求.

Answer 1

【答案】（I）曲線C：，直線l：；

（II）

【解析】

（Ⅰ）由同角的平方關系，化簡可得曲線的普通方程，由極坐標和直角坐標的關系：，，結合兩角和的余弦公式，可得直線的直角坐標方程；

（Ⅱ）求得的坐標，設出直線的參數方程，代入曲線的方程，運用韋達定理和中點公式，計算可得所求值．

解：（Ⅰ）曲線的參數方程是 (為參數)，

可得，

則曲線C的普通方程為，

直線l的極坐標方程為，，

即，

由，可得

；

（II）由直線l的方程，可得，

設直線l的參數方程為（為參數），

將該參數方程代入圓，

可得，

則

，

，

則.