【題目】設函數
， 
（
）.
（1）當
時，若函數
與
的圖象在
處有相同的切線，求
的值；
（2）當
時，若對任意
和任意
，總存在不相等的正實數
，使得
，求
的最小值；
（3）當
時，設函數
與
的圖象交于
兩點．求證： 
.
【答案】（1）
（2）
（3）見解析
【解析】試題分析：（1）由導數幾何意義可得
，又
，解方程組可得
的值；（2）先轉化條件為對應方程有兩個不等實根，再根據實根分布充要條件列不等式組，解得
的最小值；(3)先根據零點表示b，代入要證不等式化簡得
.再構造函數
，以及
，結合導數研究其單調性，即證得結論
試題解析：解：（1）由
，得
，又
，所以
，.
當
時， 
，所以
，所以
.
因為函數
與
的圖象在
處有相同的切線，
所以
，即
，解得
.
（2）當
時，則
，又
，設
，
則題意可轉化為方程
在
上有相異兩實根
．
即關于
的方程
在
上有相異兩實根
．
所以
，得
，
所以
對
恒成立．
因為
，所以
（當且僅當
時取等號），
又
，所以
的取值范圍是
，所以
．
故
的最小值為
.
（3）當
時，因為函數
與
的圖象交于
兩點，
所以
，兩式相減，得
.
要證明
，即證
，
即證
，即證
.
令
，則
，此時即證
．
令
，所以
，所以當
時，函數
單調遞增．
又
，所以
，即
成立；
再令
，所以
，所以當
時，函數
單調遞減，
又
，所以
，即
也成立．
綜上所述， 實數
滿足
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設f(x)是定義域為R的周期函數，最小正周期為2，且
f(1＋x)＝f(1－x)，當－1≤x≤0時，f(x)＝－x.
(1)判斷f(x)的奇偶性；
(2)試求出函數f(x)在區間[－1，2]上的表達式.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某城市隨機抽取一年（365天）內100天的空氣質量指數
（Air Pollution Index）的監測數據，結果統計如下：
|
|
|
|
|
|
| 大于300 |
空氣質量 | 優 | 良 | 輕微污染 | 輕度污染 | 中度污染 | 中度重 污染 | 重度污染 |
天數 | 10 | 15 | 20 | 30 | 7 | 6 | 12 |
（Ⅰ）若本次抽取的樣本數據有30天是在供暖季，其中有7天為重度污染，完成下面
列聯表，并判斷能否有
的把握認為該市本年空氣重度污染與供暖有關？
非重度污染 | 重度污染 | 合計 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合計 | 100 |
| 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附： 
（Ⅱ）政府要治理污染，決定對某些企業生產進行管控，當
在區間
時企業正常生產；當
在區間
時對企業限產
（即關閉
的產能），當
在區間
時對企業限產
，當
在300以上時對企業限產
，企業甲是被管控的企業之一，若企業甲正常生產一天可得利潤2萬元，若以頻率當概率，不考慮其他因素：
①在這一年中隨意抽取5天，求5天中企業被限產達到或超過
的恰為2天的概率；
②求企業甲這一年因限產減少的利潤的期望值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】共享單車因綠色、環保、健康的出行方式，在國內得到迅速推廣.最近，某機構在某地區隨機采訪了10名男士和10名女士，結果男士、女士中分別有7人、6人表示“經常騎共享單車出行”，其他人表示“較少或不選擇騎共享單車出行”.
（1）從這些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“經常騎共享單車出行”的概率；
（2）從這些男士中抽取一人，女士中抽取兩人，記這三人中“經常騎共享單車出行”的人數為
，求
的分布列與數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，其焦距為2，離心率為
（1）求橢圓
的方程；
（2）設橢圓的右焦點為
， 
為
軸上一點，滿足
，過點
作斜率不為0的直線
交橢圓于
兩點，求
面積
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知直線
與橢圓
交于點
， 
（
在
軸上方），且
.設點
在
軸上的射影為
，三角形
的面積為2（如圖1）.
（1）求橢圓的方程；
（2）設平行于
的直線與橢圓相交，其弦的中點為
.
①求證：直線
的斜率為定值；
②設直線
與橢圓相交于兩點
， 
（
在
軸上方），點
為橢圓上異于
， 
， 
， 
一點，直線
交
于點
， 
交
于點
，如圖2，求證： 
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的一個焦點坐標為
．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）已知點
，過點
的直線
（與
軸不重合）與橢圓
交于
兩點，直線
與直線
相交于點
，試證明：直線
與
軸平行．
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