Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知直線與橢圓交于點， （在軸上方），且.設點在軸上的射影為，三角形的面積為2（如圖1）.

（1）求橢圓的方程；

（2）設平行于的直線與橢圓相交，其弦的中點為.

①求證：直線的斜率為定值；

②設直線與橢圓相交于兩點， （在軸上方），點為橢圓上異于， ， ， 一點，直線交于點， 交于點，如圖2，求證： 為定值.

Answer 1

【答案】（1） (2) ①②

【解析】試題分析：（1）設，已知，即，所以，故，即,再根據橢圓經過解得，從而可得橢圓的方程；（2）設平行的直線的方程為，且，① 聯立，得到，根據韋達定理求得， ，從而可得直線的斜率為定值，②由題意可知，求出.設，求出 的坐標，利用弦長公式分別求出的值，將用表示，化簡消去即可的結論.

試題解析：（1）由題意，可設，已知，即，

所以，故，即；

又橢圓經過，即 ，解得；

故所求橢圓的方程為：

(2)設平行的直線的方程為，且，

① 聯立，得到，

所以， ；

故，直線的斜率為（定值）

②由題意可知，

聯立方程組得

設，先考慮直線斜率都存在的情形：

直線，

聯立方程組： 得,

直線,

聯立方程組： 得,

則，

，

所以

當直線斜率不存在時結果仍然成立.