Question

【題目】已知函數 ，且 .

（Ⅰ）設 ，求的單調區間及極值；

（Ⅱ）證明：函數的圖象在函數的圖象的上方.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 當時， ．(Ⅱ)詳見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可得，則= ，求導即可研究單調區間及極值；

（Ⅱ）證明：函數的圖象在函數的圖象的上方，等價于，即，只要證得，可通過證明即可.

試題解析：

（Ⅰ）解：由，所以，解得，

又得，所以，

于是，則，由，

所以的遞增區間，遞減區間，

當時，．

（Ⅱ）證明：“函數的圖象在函數的圖象的上方”等價于“”，即要證：，又，

所以只要證．

由（Ⅰ）得，即（當且僅當時等號成立），

所以只要證明當時，即可．

設，

所以，令，解得，

由得，所以在上為增函數，

所以，即，

所以，故函數的圖象在函數的圖象的上方.