Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（與軸不重合）與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，試證明：直線與軸平行．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可知所以，即可得到求橢圓的方程；

（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易證直線與軸平行

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為 .

因?yàn)辄c(diǎn)，所以直線的方程為.

令，所以.

由消去得.顯然恒成立.

所以

這時(shí)可證，即.

所以直線 軸.

試題解析：

（Ⅰ）由題意可知所以.所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)軸.設(shè)，直線與軸相交于點(diǎn)，易得點(diǎn)是點(diǎn)和點(diǎn)的中點(diǎn)，又因?yàn)?/span>，

所以，所以直線 軸.

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為 .

因?yàn)辄c(diǎn)，所以直線的方程為.

令，所以.

由消去得.顯然恒成立.

所以

因?yàn)?/span>

，

所以.

所以直線 軸.

綜上所述，所以直線 軸.