Question

【題目】已知函數,.

(1)若曲線在處的切線方程為,求的值；

（2）在(1)的條件下,求函數零點的個數；

（3）若不等式對任意都成立,求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)0；(2)兩個；(3).

【解析】

(1)對函數求導,根據導數的幾何意義,結合切線方程可以求出的值,最后計算即可；

(2)由(1)求出函數的單調性,根據零點存在原理,可以判斷出函數零點的個數；

(3)設,對它進行求導,根據的不同取值,分類討論判斷出函數的單調調性,根據函數的最值情況求出a的取值范圍.

(1),

由題意，,,解得，,,所以.

(2)由(1)知,,

令，得,

且當時,；當時,，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.

因為,,，函數在區間和上的圖象是一條不間斷的曲線,由零點存在性定理,

所以函數有兩個零點.

(3)設,即，，

，

當時，，所以函數在單調遞減，

所以最小值為，不合題意；

當時，，

令，得.

若，即時，函數在單調遞減；

所以最小值為，只需，即，

所以符合；

若，即時，函數在上單調減，在上單調增，

所以的最小值為，

所以符合.

綜上,a的取值范圍是.