Question

【題目】已知函數，若點在的圖像上運動，則點在的圖象上運動

（1）求的最小值，及相應的值

（2）求函數的解析式，指出其定義域，判斷并證明在上的單調性

（3）在函數和的圖象上是否分別存在點關于直線對稱，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）的最小值為2，對應的為0；（2），定義域為，，單調遞增，證明見解析；（3）存在

【解析】

（1）寫出的解析式，依據基本不等式性質即可求解；

（2）根據點的關系求出解析式，寫出的解析式即可判斷單調性；

（3）設兩點的坐標根據位置和對稱關系列方程組求解.

（1），當且僅當即時，等號成立，即的最小值為2，對應的為0.

（2）設圖象上點，由題：，所以

點在的圖像上運動，則，

所以，，由得其定義域為

所以，定義域為

在定義域內為增函數，證明如下：

任取，根據指數函數和對數函數單調性有：

，，

，

即

所以在定義域內是增函數.

（3）假設函數和的圖象上分別存在點關于直線對稱，

設其坐標，則有：

解得：

故在函數和的圖象上分別存在點關于直線對稱.