Question

【題目】如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC=2AD=2DC，四邊形ABEF是正方形．將正方形ABEF沿AB折起到四邊形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M為AF1的中點，如圖2．
（I）求證：AC⊥BM；
（Ⅱ）求平面CE1M與平面ABE1F1所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明四邊形ABE1F1是正方形，∴BE1⊥AB．

平面ABE1F1⊥平面ABCD，平面ABE1F1∩平面ABCD=AB，BE1面ABE1F1

∴BE1⊥平面ABCD，

∵AC平面ABCD，∴BE1⊥AC．

設AD=1，則AC=AB= ，∴AC⊥AB且AB∩BE1=B．

∴AC⊥面ABE1F1，又MB面ABE1F1∴AC⊥MB．

（Ⅱ）如圖以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．

則A（1，1，0），B（0，0，0），C（2，0，0），E1（0，0， ），M（1，1， ）．

由題意得， ， ， ，

設面CE1M的一個法向量為 ，

，可得 ．

又平面ABE1F1得法向量為 ．

設平面CE1M與平面ABE1F1所成銳二面角為θ．

cosθ=|cos |= ．

∴平面CE1M與平面ABE1F1所成銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）只需證明BE1⊥AC．AC⊥AB且AB，可得AC⊥面ABE1F1，AC⊥MB．（Ⅱ）以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．則A（1，1，0），B（0，0，0），C（2，0，0），E1（0，0， ），M（1，1， ）．利用向量求解
【考點精析】掌握直線與平面垂直的性質是解答本題的根本，需要知道垂直于同一個平面的兩條直線平行．