Question

【題目】已知橢圓E：mx2+y2=1（m＞0）．
（Ⅰ）若橢圓E的右焦點坐標為 ，求m的值；
（Ⅱ）由橢圓E上不同三點構成的三角形稱為橢圓的內接三角形．若以B（0，1）為直角頂點的橢圓E的內接等腰直角三角形恰有三個，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）橢圓E的方程可以寫成 ，焦點 在x軸上，所以 ，b2=1 ，求得 ．

（Ⅱ）設橢圓E內接等腰直角三角形的兩直角邊分別為BA，BC，設A（x1，y1），C（x2，y2）

顯然BA與BC不與坐標軸平行，且kBAkBC=﹣1＜0∴可設直線BA的方程為y=kx+1（k＞0），則直線BC的方程為 ，

由 消去y得到（m+k2）x2+2kx=0，所以

求得

同理可求

因為△ABC為以B（0，1）為直角頂點的等腰直角三角形，所以|BA|=|BC|，

所以 ，

整理得mk3﹣k2+k﹣m=0（mk3﹣m）﹣（k2﹣k）=0m（k3﹣1）﹣（k2﹣k）=0

m（k﹣1）（k2+k+1）﹣k（k﹣1）=0（k﹣1）[mk2+（m﹣1）k+m]=0

所以k=1或mk2+（m﹣1）k+m=0，設f（k）=mk2+（m﹣1）k+m

因為以B（0，1）為直角頂點的橢圓內接等腰直角三角形恰有三個，

所以關于k的方程mk2+（m﹣1）k+m=0有兩個不同的正實根x1，x2，且都不為1∴ ，

所以實數m的取值范圍是

【解析】（Ⅰ）化橢圓E的方程為標準形式，通過焦點 在x軸上，求出a，然后求解m即可．（Ⅱ）設橢圓E內接等腰直角三角形的兩直角邊分別為BA，BC，設A（x1，y1），C（x2，y2），BA與BC不與坐標軸平行，且kBAkBC=﹣1＜0，設直線BA的方程為y=kx+1（k＞0），則直線BC的方程為 ，

聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及弦長公式，通過數據線的形狀，轉化求解即可．