Question

【題目】已知函數，函數是函數的反函數.

求函數的解析式，并寫出定義域；

設，判斷并證明函數在區間上的單調性:

若中的函數在區間內的圖像是不間斷的光滑曲線，求證:函數在區間內必有唯一的零點(假設為)，且.

Answer 1

【答案】（1）；；

（2）在區間上是減函數，證明見解析；

（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據和得出，此范圍就是其反函數的定義域，再由，可解得，，再將互換得，從而得函數的解析式；

（2）設，則，，，可得，可得證；

（3）先判斷函數的奇偶性，再由（2）得出在上的單調性，根據零點存在定理可得證.

，，，，

又，，

由，得，，互換得，

，定義域

在區間上的單調遞減，證明如下：

由(1)可知，，且定義域為，

設，則，

，，

，

由得，即，

在區間上是減函數；

對任意，有，

所以，函數是奇函數，

由（2）得在區間上是減函數，所以函數在上單調遞減，且在上的圖像也是不間斷的光滑曲線，

又

,

所以，根據零點存在定理得：函數在區間上有且僅有唯一零點，

所以，函數在區間上有且僅有唯一零點，且.

故得解.