Question

【題目】已知函數，，．

(1)若，，求函數的單調區間；

(2)設．

(i)若函數有極值，求實數的取值范圍；

(ii)若()，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）求出的導數，解關于導函數的方程，從而求出函數的單調區間即可；

（2）(i)=，定義域為(0，+∞)，，對a分類討論結合極值的概念得到實數的取值范圍；

(ii) 不妨取，欲證，只需證明．

(1)當，時，，定義域為，

．

令，得；令，得．

所以函數的單調遞增區間為(0，1)，單調遞減區間為(1，+∞)．

(2)(i) =，定義域為(0，+∞)，

，

①當時，，函數在(0，+∞)上為單調遞增函數，

不存在極值．

②當時，令，得，，

所以，易證在上為增函數，

在上為減函數，所以當時，取得極大值．

所以若函數有極值，實數的取值范圍是．

(ii)由(i)知當時，不存在，使得，當時，存在，使得，不妨取，

欲證，只需證明．

因為函數在上為減函數，故只需證，

即證，即證．

令，

則．

設，則，

因為，，所以在上為減函數，

，

所以在上為增函數，所以，

即，故成立．