Question

已知a＞b＞c，求證：ab²+bc²+ca²＜a²b+b²c+c²a．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題

分析：作差a²b+b²c+c²a-ab²-bc²-ca²后重新分組整理，可得a²b+b²c+c²a-ab²-bc²-ca²=（b-c）（a-b）（a-c），利用已知a＞b＞c，易知（b-c）（a-b）（a-c）＞0，從而可證結(jié)論成立．

解答： 證明：a²b+b²c+c²a-ab²-bc²-ca²
=a²（b-c）+a（c²-b²）+bc（b-c）
=a²（b-c）+（ab+ac）（b-c）+bc（b-c）
=（b-c）（a²-ac-ab+bc）
=（b-c）[a（a-c）-b（a-c）]
=（b-c）（a-b）（a-c），
因為a＞b＞c，
所以b-c＞0，a-b＞0，a-c＞0，
所以（b-c）（a-b）（a-c）＞0；
即a²b+b²c+c²a＞ab²+bc²+ca²；
所以ab²+bc²+ca²＜a²b+b²c+c²a．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查作差法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與變形化積的能力，屬于難題．