Question

已知函數f（x）=lnx-ax+1．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線l與直線4x+3y-3=0垂直，求實數a的值；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

（n∈N^*）．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數的定義域，求出原函數的導函數，得到f′（1），由y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線l與直線4x+3y-3=0垂直列式求得a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的導函數可知，當a≤0時不合題意，當a＞0時求出函數的單調區間，進一步求出函數的最大值，由最大值小于等于0求解a的范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得lnx＜x-1在x∈（0，1]上恒成立．令x=

n

n+1

得到ln

n

n+1

＜-

1

n+1

，然后分別取n=1，2，3，…，累加后證得答案．

解答： （Ⅰ）解：函數f（x）=lnx-ax+1的定義域為（0，+∞），
f′(x)=

1

x

-a．
∴f′（1）=1-a．
又切線l與直線4x+3y-3=0垂直，
∴1-a=

3

4

，解得a=

1

4

；
（Ⅱ）解：若a≤0，則f′(x)=

1

x

-a＞0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數．
而f（1）=1-a，f（x）≤0不成立，故a＞0．
若a＞0，則當x∈(0，

1

a

)時，f′(x)=

1

x

-a＞0；
當x∈(

1

a

，+∞)時，f′(x)=

1

x

-a＜0．
∴f（x）在(0，

1

a

]上是增函數，在[

1

a

，+∞)上是減函數．
∴f（x）的最大值為f(

1

a

)=-lna．
要使f（x）≤0恒成立，只需-lna≤0，解得a≥1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當a=1時，有f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，且f（x）在（0，1]上是增函數，
又f（1）=0，
∴lnx＜x-1在x∈（0，1]上恒成立．
令x=

n

n+1

，則ln

n

n+1

＜

n

n+1

-1=-

1

n+1

，
令n=1，2，3…n，
則有ln

1

2

＜-

1

2

，ln

2

3

＜-

1

3

，…，ln

n

n+1

＜-

1

n+1

．
以上各式兩邊分別相加，得ln

1

2

+ln

2

3

+…+ln

n

n+1

＜-(

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

)．
即ln

1

n+1

＜-(

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

)，
故ln(n+1)＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數求函數的最值，體現了數學轉化思想方法，訓練了利用放縮法和累加法證明不等式，是壓軸題．