Question

某公司為了實現2015年1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數額不超過5萬元，同時獎金數額不超過利潤的25%，現有三個獎勵模型：y₁=0.025x，y₂=1.003^x，y₃=log₇x+1，問其中是否有模型能完全符合公司的要求？說明理由．（參考數據：1.003⁶⁰⁰≈6，7⁴=2401）

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：由題意，當x∈[10，1000]時，模型需同時滿足①函數為增函數；②函數的最大值不超過5；③y≤x•25，對y₁=0.025x，y₂=1.003^x，y₃=log₇x+1，三個函數逐一分析即可．

解答： 解：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時
①函數為增函數；②函數的最大值不超過5；③y≤x•25%
（1）y=0.025x，易知滿足①，但當x＞200時，y＞5不滿足公司要求；…（2分）
（2）y=1.003^x，易知滿足①，但當x＞600時，y＞6不滿足公司要求；…（4分）
（3）y₃=log₇x+1易知滿足①，
當x∈[10，1000]時，y₃≤log₇1000+1＜log₇2401+1＜5，滿足②，…（7分）
對于③，設F(x)=lo

g

x 7

+1-25%x，F′（x）=

1

xln7

-

1

4

≤

1

10ln7

-

1

4

＜0，F_max（x）=F（10）＜0，滿足條件③．…（11分）
所以，只有y₃=log₇x+1滿足題意．…（12分）

點評：本題考查函數模型的選擇與應用，構造函數F(x)=lo

g

x 7

+1-25%x，利用導數研究其單調性與最值是關鍵，也是難點所在，突出考查轉化思想與綜合分析的能力，屬于中檔題．