Question

13．在棱長為1的正方體ABCD-A'B'C'D'中，E是AA'的中點，P是三角形BDC'內的動點，EP⊥BC'，則P的軌跡長為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{4}$

Answer 1

分析 畫出圖形，經過E作出與直線BC′垂直的平面，判斷P的位置，然后求解即可．

解答 解：在棱長為1的正方體ABCD-A'B'C'D'中，E是AA'的中點，取BD的中點O，連接EO，因為A′C⊥平面BDC'，可知EO⊥BC'，則O就是P軌跡上的一個點，作OF⊥BC'，于F，可得BC'⊥平面EFO，所以P在OF上，OF的長就是P的軌跡長．
因為正方體的棱長為1，所以BD=$\sqrt{2}$，則OF=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查空間直線與平面的位置關系，直線與平面垂直的判斷，考查空間想象能力以及計算能力．