Question

8．從1到9的九個數字中取三個偶數四個奇數組成沒有重復數字的七位數，試問：
（1）三個偶數排在一起的有幾個？
（2）偶數排在一起、奇數也排在一起的有幾個？
（3）任意兩偶然都不相鄰的七位數有幾個？

Answer 1

分析 （1）根據題意，分3步進行分析：先在4個偶數中取3個，在5個奇數中取4個，再將其中三個偶數排在一起可以把三個偶數看成一個元素進行排列，三個元素之間還有一個排列，得到結果，
（2）分3步進行分析：先在4個偶數中取3個，在5個奇數中取4個，再將3個偶數排在一起，有A₃³種情況，4個奇數也排在一起有A₄⁴種情況，將奇數與偶數進行全排列計算可得答案；
（3）分3步進行分析：先在4個偶數中取3個，在5個奇數中取4個，再把4個奇數排好，再將3個偶數分別插入5個空檔，利用分別計數原理得到結果．

解答 解：（1）根據題意，分3步進行分析：
①、在4個偶數中取3個，有C₄³種結果，在5個奇數中取4個，有C₅⁴種結果，
②、三個偶數排在一起可以把三個偶數看成一個元素，考慮其順序，有A₃³種情況，
③、將這個元素與4個奇數全排列，有A₅⁵種情況，
則三個偶數排在一起的七位數共有C₄³C₅⁴A₅⁵A₃³=14400個；
（2）根據題意，分3步進行分析：
①、在4個偶數中取3個，有C₄³種結果，在5個奇數中取4個，有C₅⁴種結果，
②、3個偶數排在一起有A₃³種情況，4個奇數也排在一起有A₄⁴種情況，
③、將奇數整體、偶數整體全排列，有A₂²種情況，
則共有C₄³C₅⁴A₃³A₄⁴A₂²=5760個偶數排在一起、奇數也排在一起的七位數；
（3）根據題意，分3步進行分析：
①、在4個偶數中取3個，有C₄³種結果，在5個奇數中取4個，有C₅⁴種結果，
②、把4個奇數全排列，有A₄⁴種情況，拍好后有5個空位，
③、在5個空位中任選3個，安排3個偶數，有A₅³種情況，
則共有A₅⁴C₄³A₅³=28800個兩偶然都不相鄰的七位數．

點評 題考查排列組合及簡單計數問題，本題解題的關鍵是對于要求相鄰的元素要采用捆綁法，對于不相鄰的元素要采用插空法，本題是一個比較典型的排列組合問題．