Question

1．已知拋物線y²=4$\sqrt{3}$x的焦點為F，A、B為拋物線上兩點，若$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，O為坐標原點，則△AOB的面積為（　　）

• A． 8$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據拋物線的定義，不難求出，|AB|=2|AE|，由拋物線的對稱性，不妨設直線的斜率為正，所以直線AB的傾斜角為60°，可得直線AB的方程，與拋物線的方程聯立，求出A，B的坐標，即可求出△AOB的面積．

解答 解：拋物線y²=4$\sqrt{3}$x的焦點為F（$\sqrt{3}$，0），由拋物線的定義可知：|AF|=|AD|，|BC|=|BF|，
過B做BE⊥AD，
由$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，則丨$\overrightarrow{AF}$丨=丨$\overrightarrow{FB}$丨，
∴|AB|=2|AE|，由拋物線的對稱性，不妨設直線的斜率為正，
∴直線AB的傾斜角為60°，直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$（x-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$x-3，
聯立直線AB與拋物線的方程可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-3}\\{{y}^{2}=4\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，整理得：3x²-10$\sqrt{3}$x+9=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，則丨AB丨=x₁+x₂+p=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$+2$\sqrt{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
而原點到直線AB的距離為d=$\frac{丨0-\sqrt{3}×0+3丨}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{3}{2}$，
則三角形△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{16\sqrt{3}}{3}$•$\frac{3}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴當直線AB的傾斜角為120°時，同理可求S=4$\sqrt{3}$，
故選B．

點評 本題考查拋物線的簡單幾何性質，考查直線與拋物線的相交問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．