Question

【題目】(2015·湖南）設數列{an}的前n項和為Sn ， 已知a1=1, a2=2，且an+1=3Sn-Sn+1+3(n)
（1）證明：an+2=3an；
（2）求Sn

Answer 1

【答案】
（1）

略。

（2）

Sn=

【解析】(I)由條件，對任意n ， 有an+2=3Sn-Sn+1+3(n)，因而對任意an+1=3Sn-1-Sn+3, (n), 兩式相減可得an+2-an+1=3an-an+1, 即an+2=3an（n≥2），又a1=1, a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1, 故對一切n ， an+2=3an。
(II)由(I)知， an≠0，所以=3, 于是數列{a2n-1}是首項a1=1,公比為3的等比數列，數列{a2n}是首項a1=2，公比為3的等比數列，所以a2n-1=3n-1, a2n=2x3n-1, 于是S2n=a1+a2+.....+a2n=（a1+a3+......a2n-1)+(a2+a4+.....+a2n)=(1+3+.....+3n-1)+2(1+3+......+3n-1)=3(1+3+......+3n-1)=, 從而S2n-1=S2n-a2n==-2x3n-1=(5x3n-2-1), 綜上所述， Sn=
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．