Question

【題目】(2015新課標(biāo)II)已知橢圓C:9x2+y2=m2（m0），直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B，線段AB的中點(diǎn)為M.
（1）(I)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；
（2）（II）若l過點(diǎn)(,m)延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P,四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率，若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

【證明】設(shè)直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A(x1，y1)，B（x2，y2），M（xm,ym）

將y=kx+b代入9x2+y2=m2得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，故xM==,yM=KXM+b=,于是直線OM的斜率KOM==-,即KOMk=-9，所以直線OM的斜率與l的斜率乘積為定值。

（2）

當(dāng)l的斜率為4-或4+時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形

【解析】(II)四邊形OAPB能為平行四邊形
因?yàn)橹本�l過點(diǎn)（,m），所以l不過原點(diǎn)且與C又兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k0，k≠3
由（I）得OM的方程為y=-x,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP
由得=即=,將點(diǎn)（,m）的坐標(biāo)代入直線l的方程得b=,因此,四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即=2。
于是=2x.解得k1=4-,k2=4+
因?yàn)閗i0，ki≠3，i=1，2.所以當(dāng)l的斜率為4-或4+時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形.