Question

【題目】(2015·四川）如圖，橢圓E：的離心率是，過點P（0,1）的動直線l與橢圓相交于A，B兩點，當直線l平行與x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為2.

（1）求橢圓E的方程；
（2）在平面直角坐標系xOy中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

存在，Q點的坐標為Q（0,2）

【解析】由已知，點（，1）在橢圓E上， 因此, 解得a=2, b=, 所以橢圓的方程為。 （2）當直線l與x軸平行時，設直線x與橢圓相交于C, D兩點如果存在定點Q滿足條件，則, 即所以Q點在y軸上，可設Q點的坐標為(0,y0), 當直線l與x軸垂直時，設直線l與橢圓相交于M,N兩點， 則M（0， ）， N（0，-）。由, 有=, 解得y0=1或y0=2， 所以，若存在不同于點P的定點Q滿足條件，則Q點的坐標只可能為Q(0，2), 下面證明:對任意的直線l均有,當直線的斜率l不存在時，由上可知，結論成立.
當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y=kx+1的坐標分別為(x1, y1),(x2, y2), 聯立, 得（2k2+1)x2+4kx-2=0. 其判別式△=16k2+8(2k2+1)>0, 所以x1+x2=-, x1·x2=-，因此+==2k, 易知，點B關于:一軸對稱的點的坐標為B'(-x2, y2)

又KQA==k-, KQB==-k+=k-, 所以KQA= KQB ， 即Q,A,B'三點共線， 所以=,故存在故存在與P不同的定點Q（0,2），使得恒成立。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用橢圓的標準方程的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．