Question

【題目】(2015·山東）設函數=. 已知曲線= 在點處的切線與直線平行.
（1）求的值；
（2）是否存在自然數，使得方程=在內存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，請說明理由；
（3）設函數=(表示，中的較小值），求的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

時，方程,=在內存在唯一的根.

（3）

【解析】（1）由題意知，曲線在點處的切線斜率為2，所以，
又，所以
(2)k=1時，方程=在內存在唯一的根.
設=-=
當(0,1]時,
又,
所以存在，使
因為。所以當時，
所以當時，單調遞增,
所以k=1時，方程=在內存在唯一的根.
（3）由（2）可知，方程=在內存在唯一的根,且時,
時,,所以
當時,若
當時,由,可知,故
當時,由,可得時,單調遞增,時
單調遞減
可知,且
綜上可得的最大值為
【考點精析】掌握集合的含義是解答本題的根本，需要知道把研究的對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合．