【題目】在平面直角坐標系
中，圓
，點
，過
的直線
與圓
交于點
，過做直線
平行
交
于點
．
（1）求點的軌跡
的方程；
（2）過的直線與交于
、
兩點，若線段
的中點為
，且
，求四邊形
面積的最大值．
【答案】（1）
.（2）
【解析】
（1）由題意可得
，可得
，則
的軌跡是焦點為
，
，長軸為
的橢圓的一部分，再用待定系數法即可求出方程；
（2）由題意設直線方程為
，設
，
，聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理表示出
，可得
，設四邊形
的面積為
，則
，再根據基本不等式即可求出答案．
解：（1）因為
，又因為
，所以，
所以
，
所以的軌跡是焦點為，，長軸為的橢圓的一部分，
設橢圓方程為
，
則
，
，所以
，
，
所以橢圓方程為
，
又因為點不在
軸上，所以
，
所以點的軌跡
的方程為；
（2）因為直線
斜率不為0，設為，
設，，聯立
整理得
，
所以
，
，
，
所以
，
∵
，∴，
設四邊形的面積為，
則
，
令
，
再令
，則在
單調遞增，
所以
時，
，
此時
，
取得最小值，所以．
寒假創新型自主學習第三學期寒假銜接系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的上頂點為A，右焦點為F，O是坐標原點，
是等腰直角三角形，且周長為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l與AF垂直，且交橢圓于B，C兩點，求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的兩個焦點分別為
，短軸的兩個端點分別為
.
（Ⅰ）若
為等邊三角形，求橢圓
的方程；
（Ⅱ）若橢圓
的短軸長為
，過點
的直線
與橢圓
相交于
兩點，且
，求直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現1次故障，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需1名工人進行維修，每臺機器出現故障需要維修的概率為
．
（1）問該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率不小于
？
（2）已知1名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現故障或出現故障能及時維修，能使該廠產生5萬元的利潤，否則將不產生利潤．若該廠現有2名工人，求該廠每月獲利的均值．
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