Question

【題目】已知函數有兩個零點.

（1）求的取值范圍；

（2）記的極值點為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）求導得，分類討論求出函數的單調性，從而可求出答案；

（2）由題意得，則，令函數，則，利用導數可求得，從而可得，可得，要證，只需，令，即證，令，求導后得函數的單調性與最值，由此可證結論．

解：（1）因為，

當時，，在單調遞增，至多只有一個零點，不符合題意，舍去；

當時，若，則；若，則，

所以在單調遞增，在單調遞減，

所以，

因為有兩個零點，所以必須，則，

所以，解得，

又因為時，； 時，，

所以當時，在和各有一個零點，符合題意，

綜上，；

（2）由（1）知，且，

因為的兩個零點為，所以，所以，

解得，令所以，

令函數，則，

當時，；當時，；

所以在單調遞增，在單調遞減，

所以，所以，所以，

因為，又因為，所以，

所以，即，

要證，只需，

即證，即證，即證，

令，再令，即證，

令，則，

所以在單調遞增，所以，

所以，原題得證．