【題目】已知橢圓
的上頂點為A，右焦點為F，O是坐標原點，
是等腰直角三角形，且周長為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l與AF垂直，且交橢圓于B，C兩點，求
面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）依題意求出
，
，
的值，即可求出橢圓方程；
（2）由（1）可得直線
的斜率，則可設直線
的方程為
，
聯立直線與橢圓方程，利用根的判別式求出參數
的范圍，設
，
，利用韋達定理及點到線的距離公式表示出
及點
到直線的距離
，則
利用導數求出面積的最值；
解：（1）在
中，
，
，則
，
因為是等腰直角三角形，且周長為
，
所以
，
，
，
得
，
，
因此橢圓的方程為.
（2）由（1）知
，
，則直線的斜率
，
因為直線與垂直，所以可設直線的方程為，
代入，得
，
則
，解得
，
所以
.
設，，則
，
，
.
又點到直線的距離
，
所以，.
令
，
則
，
令
，則
或
，
令
，則
或
.
因此
在
上是增函數，在
上是減函數，
在
上是增函數，在
上是減函數.
因為
，
，
，
所以當
時，取得最大值，
，
所以
，
因此
面積的最大值是.
期末集結號系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓過定點
，且在y軸上截得的弦MN的長為8．
（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（2）已知點
，長為
的線段PQ的兩端點在軌跡C上滑動．當
軸是
的角平分線時，求直線PQ的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
與橢圓
相交于
兩點，其中
在第一象限，
是橢圓上一點.
（1）記
、
是橢圓
的左右焦點，若直線
過，當到的距離與到直線的距離相等時，求點的橫坐標；
（2）若點
關于
軸對稱，當
的面積最大時，求直線
的方程；
（3）設直線
和與
軸分別交于
，證明：
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在極坐標系中，已知曲線
：
和曲線
：
，以極點
為坐標原點，極軸為
軸非負半軸建立平面直角坐標系.
（1）求曲線和曲線的直角坐標方程；
（2）若點
是曲線上一動點，過點作線段
的垂線交曲線于點
，求線段
長度的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線C的參數方程為
（t為參數），以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，過極點的兩射線
、
相互垂直，與曲線C分別相交于A、B兩點（不同于點O），且的傾斜角為銳角
.
（1）求曲線C和射線的極坐標方程；
（2）求△OAB的面積的最小值，并求此時的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
經過點
,且離心率為
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）過點
任作一條直線
與橢圓
交于不同的兩點
.在
軸上是否存在點
，使得
？若存在，求出點
的坐標；若不存在，請說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知不等式|2x-1|+|2x-2|＜x+3的解集是A．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）設x，y∈A，對任意a∈R，求證：xy（||x+a|-|y+a||）＜x2+y2．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，圓
，點
，過
的直線
與圓
交于點
，過做直線
平行
交
于點
．
（1）求點的軌跡
的方程；
（2）過的直線與交于
、
兩點，若線段
的中點為
，且
，求四邊形
面積的最大值．
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