Question

【題目】某廠有4臺(tái)大型機(jī)器，在一個(gè)月中，一臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修，每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為．

（1）問該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不小于？

（2）已知1名工人每月只有維修1臺(tái)機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修，能使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤(rùn)，否則將不產(chǎn)生利潤(rùn)．若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值．

Answer 1

【答案】（1）名；（2）萬元．

【解析】

（1）一臺(tái)機(jī)器運(yùn)行是否出現(xiàn)故障看作一次實(shí)驗(yàn)，在一次試驗(yàn)中，機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為；4臺(tái)機(jī)器相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為X，，求出對(duì)應(yīng)概率值，寫出分布列，計(jì)算“每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修”的概率不少于90%的對(duì)應(yīng)工人數(shù)；

（2）設(shè)該廠獲利為Y萬元，Y的所有可能取值為18，13，8，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，求出分布列與數(shù)學(xué)期望值．

（1）設(shè)“機(jī)器出現(xiàn)故障設(shè)”為事件，則．

設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為，則，

，

，

，

，

．

故的分布列為

	0	1	2	3	4

設(shè)該廠有名工人，則“每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修”為，，，，…，，這個(gè)互斥事件的和事件，則

	0	1	2	3	4

因?yàn)?/span>，所以至少要3名工人，才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不小于．

（2）設(shè)該廠獲利為萬元，則的所有可能取值為18，13，8，

，

，

．

故的分布列為

	18	13	8

所以，

故該廠獲利的均值為萬元．