Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為，短軸的兩個端點分別為.

（Ⅰ）若為等邊三角形，求橢圓的方程；

（Ⅱ）若橢圓的短軸長為，過點的直線與橢圓相交于兩點，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．

【解析】試題分析：（1）由為等邊三角形可得a=2b，又c=1，集合可求，則橢圓C的方程可求；（2）由給出的橢圓C的短軸長為2，結合c=1求出橢圓方程，分過點F2的直線l的斜率存在和不存在討論，當斜率存在時，把直線方程和橢圓方程聯立，由根與系數關系寫出兩個交點的橫坐標的和，把

轉化為數量積等于0，代入坐標后可求直線的斜率，則直線l的方程可求

試題解析：（1）為等邊三角形，則……2

橢圓的方程為： ； ……3

（2）容易求得橢圓的方程為， ……5

當直線的斜率不存在時，其方程為，不符合題意； ……6

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

由得，設，

則， ……8

∵，

∴，

即

……10

解得，即，

故直線的方程為或. ……12