Question

【題目】已知函數（為常數）.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數在內有極值，試比較與的大小，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上是增函數，在上是增函數；當時，在上是增函數，在上是增函數，在上是減函數，在上是減函數； （2）當時，；當時，；當時，.見解析

【解析】

（1）求導得到，討論，，三種情況計算得到答案.

（2）根據題意有一變號零點在區間上，得到，構造函數，根據函數的單調性得到答案.

（1）定義域為，

設

當時，，此時，從而恒成立，

故函數在上是增函數，在上是增函數；

當時，函數圖象開口向上，對稱軸，又

所以此時，從而恒成立，

故函數在上是增函數，在上是增函數；

當時，，設有兩個不同的實根，

共中，

令，則，

令，得或；令，得或，

故函數在上是增函數，在上是增函數，在上是減函數，在上是減函數.

綜上，當時，函數在上是增函數，在上是增函數；

當時，函數在上是增函數，在上是增函數，在上是減函數，在上是減函數.

（2）要使在上有極值，由（1）知，①

則有一變號零點在區間上，不妨設，

又因為，∴，又，

∴只需，即，∴，②

聯立①②可得：.

從而與均為正數.

要比較與的大小，同取自然底數的對數，

即比較與的大小，再轉化為比較與的大小.

構造函數，則，

再設，則，從而在上單調遞減，

此時，故在上恒成立，則在上單調遞減.

綜上所述，當時，；

當時，；

當時，.