Question

已知x∈R，求f（x）=sin²x+1+

5

sin2x+1

的最小值．

Answer 1

考點：基本不等式,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：本題可以先通過換元將原函數轉化為代數函數，求出相應函數的導函數，得到函數的單調性，從而得到函數的最值，即本題答案．

解答： 解：設t=sin²x+1，（1≤t≤2）．
g(t)=t+

5

t

，
∴g′(t)=1-

5

t2

=

(t+ 5 )(t- 5 )

t2

，
∵1≤t≤2，
∴g′（t）＜0．
∴g（t）在[1，2]上單調遞減．
∴[g(t)]min=g(2)=

9

2

．
∴f（x）=sin²x+1+

5

sin2x+1

的最小值為

9

2

．

點評：本題考查了導數法求單調區間、函數的最值，培養學生分析問題解決問題的能力，要注意的是如果本題運用基本不等式求最值時，不具備取等號的條件．本題難度不大，屬于中檔題．