Question

用白鐵皮做一個平底、圓錐形蓋的圓柱形糧囤，糧囤容積為（8+8

2

）πm³（不含錐形蓋內空間），蓋子的母線與底面圓半徑的夾角為45°，設糧囤的底面圓半徑為Rm，需用白鐵皮的面積記為S（R）m²（不計接頭等）．
（1）將S（R）表示為R的函數；
（2）求S（R）的最小值及對應的糧囤的總高度．（含圓錐頂蓋）

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,函數最值的應用,旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求需要的鐵皮的面積，實際上是求圓柱體的表面積，又因圓柱的表面積=側面積+底面積×2，代入數據即可求解；即可將S（R）表示為R的函數；
（2）求出S（R）的導數，利用導數值為0判斷函數的最小值，即可求解糧囤的總高度．（含圓錐頂蓋）

解答： 解：（1）S(R)=2πRh+πR2+

1

2

•2πR•

2

R=2πR•

V

πR2

+(1+

2

)πR2
=

2V

R

+(1+

2

)πR2=

16(1+ 2 )

R

+(1+

2

)πR2（R＞0）…（7分）
（2）S′(R)=-

16(1+ 2 )

R2

+2(1+

2

)πR，
令S'（R）=0，得R=2…（10分）
當R＞2時，S'（R）＞0，
當R＜2時S'（R）＜0，
∴當R=2時，S（R）取得極小值也是最小值，且S(R)min=S(2)=8(1+

2

)π，…（13分）
此時圓柱的高為2(1+

2

)，圓錐蓋的高為

2

，
∴糧囤的總高度為(2+3

2

)m…（15分）
答：（1）

2V

R

S(R)=

16(1+ 2 )

R

+(1+

2

)πR2；（2）S(R)min=S(2)=8(1+

2

)π，對應糧囤的總高度為(2+3

2

)m．…（16分）．

點評：此題主要考查圓柱體的表面積和體積的計算方法在實際生活中的應用．考查導數在函數的最值中的應用．