Question

已知函數f（x）是偶函數，f′（x）是它的導函數，當x＞0時，f（x）+xf′（x）≤0恒成立，且f（-2）=0，則不等式xf（x）＜0的解集為

 

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：常規題型,函數的性質及應用

分析：根據f（x）+xf′（x）≤0，構造函數F（x）=xf（x），通過研究函數F（x）的單調性，結合f（-2）=0，畫出F（x）的大致圖象，根據圖象寫出不等式的解集．

解答： 解：設F（x）=xf（x），
當x＞0時，F′（x）=f（x）+xf′（x）≤0
∴函數F（x）=xf（x）在（0，+∞）上是減函數，
∵函數f（x）是偶函數
∴F（-x）=-xf（-x）=-xf（x）=-F（x）
∴函數F（x）是奇函數，
∴函數F（x）在（-∞，0）上也是減函數，
∵f（-2）=0，∴f（2）=0
畫出F（x）的大致圖象如圖：
由圖象觀察可得：xf（x）＜0即F（x）＜0解集為（-2，0）∪（2，+∞）．
故答案為：（-2，0）∪（2，+∞）．

點評：本題考查了抽象函數的奇偶性與單調性，考查了構造函數及數形結合的思想．解決本題的關鍵是能夠想到通過構造函數解決．