Question

設實數x，y滿足約束條件

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

，則μ=

xy

x2+y2

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規劃

專題：數形結合,轉化思想

分析：由約束條件作出可行域，令z=

1

μ

=

x2+y2

xy

=

1

y x

+

y

x

，由

y

x

的幾何意義求出其范圍，結合“對勾函數”的單調性求出z的范圍，取倒數后得答案．

解答： 解：由約束條件

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

作出可行域如圖陰影部分所示：
令z=

1

μ

=

x2+y2

xy

=

1

y x

+

y

x

，
則z≥2，當且僅當

y

x

=1時，z最小，最小值為2．
其中

y

x

可以看作是原點（0，0）與可行域內一點（x，y）連線OM的斜率．
其最大值為2，最小值為

1

3

，
由z（2）=

1

2

+2=

5

2

，z（

1

3

）=

1

1 3

+

1

3

=

10

3

，
因此z=

x2+y2

xy

的最大值為

10

3

．
則目標函數z=

x2+y2

xy

的取值范圍是[2，

10

3

]．
∴μ=

xy

x2+y2

的取值范圍是[

3

10

，

1

2

]．
故答案為：[

3

10

，

1

2

]．

點評：本題考查線性規劃知識，考查了數學轉化思想方法，考查了數形結合的解題思想方法，訓練了利用“對勾函數”的單調性求最值，是有一定難度題目．