Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的單調區間；

（2）若方程有兩個不相等的實數根，，求證：．

Answer 1

【答案】（1）當時，單調增區間為，無減區間

當時，單調增區間為，單調減區間為

（2）見詳解

【解析】

（1） 對函數求導，，討論與時導函數的正負，來確定函數單調區間。

（2） 將代入方程，兩式相減得，構造

證明在定義域內恒成立即可。

（1）

當時，，函數在區間內單調遞增，所以函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間；

當，由，得，由，得，

所以函數的單調遞增區間為，單調減區間為。

（2）因為 是方程的兩個不相等的實數根，故由（1）得，

不妨設，則和

兩式相減可得，

因為，所以，即，

要證，只需證，

因為，所以，

故只需證明

即證明 ，設 ，即證明

令 ，則，

因為，所以，所以在為增函數，

所以，即。