Question

【題目】設函數.

（1）討論函數的極值;

（2）若為整數,,且,不等式成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數無極值；當時，有極大值，無極小值；（2）2

【解析】

（1）先對函數求導，得到，分別討論與兩種情況，用導數的方法研究函數單調性，即可求出結果；

（2）先由，將不等式化為，進而將問題轉化為恒成立；令，，用導數的方法研究其單調性，求出最值，即可得出結果.

（1）因為，所以，

當時，恒成立，因此在上單調遞減，此時無極值；

當時，由得；由得；

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

因此有極大值；

綜上所示，當時，函數無極值；當時，有極大值，無極小值；

（2）當時，，

所以不等式可化為，

因此,不等式成立，可化為恒成立；

令，，

則，

令，

則，

因為，所以，

所以在上單調遞增，

又，，

所以存在，使得，即；

所以當時，，即，單調遞減；

當時，，，單調遞增；

所以，

因此只需，即的最大值為