Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，且，平面 平面，，點為線段的中點，點是線段上的一個動點．

（Ⅰ）求證：平面 平面；

（Ⅱ）設二面角的平面角為，試判斷在線段上是否存在這樣的點，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據面面垂直的判定定理即可證明結論成立；

（Ⅱ）先證明，，兩兩垂直，再以為原點，以，，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，用表示出平面的法向量，進而表示出，由，即可得出結果.

解：（Ⅰ） 四邊形是正方形，∴.

∵平面 平面平面平面，∴平面.

∵平面，∴.

∵，點為線段的中點，∴.

又∵，∴平面.

又∵平面，∴平面 平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，∵，∴平面.

在平面內過作交于點，

∴，故，，兩兩垂直，以為原點，

以，，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標系.

因為，，∴.

∵平面， 則，，

又為的中點，，

假設在線段上存在這樣的點，使得,設，，，

設平面的法向量為， 則

∴，令，則，則

平面，平面的一個法向量,,則

∴.

，解得，∴