Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，且f（A）=2，b=1，且△ABC的面積為

3

，求邊a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象,正弦定理

專題：常規(guī)題型,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：第（Ⅰ）問求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，要先把函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即化成y=Asin（ωx+φ）+B的形式；第（Ⅱ）問根據(jù)f（A）=2求出角A，然后根據(jù)△ABC的面積為

3

，結(jié)合余弦定理求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2cos²x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
解得，kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
∴f（x）的遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（Ⅱ）由f（A）=2sin（2A+

π

6

）+1=2，得A=

π

3

S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

∴c=4，
由余弦定理得a²=1+4²-2×1×4×cos

π

3

∴a=

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，關(guān)鍵是化成標(biāo)準(zhǔn)形式；還考查了解三角形，注意根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)拿娣e公式及正余弦定理．