Question

某城市隨機抽取一年（365天）內100天的空氣質量指數API的監測數據，結果統計如下：

API	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，250]	（250，300]	＞300
空氣質量	優	良	輕微污染	輕度污染	中度污染	中度重污染	重度污染
天數	4	13	18	30	9	11	15

記某企業每天由空氣污染造成的經濟損失S（單位：元），空氣質量指數API為ω．在區間[0，100]對企業沒有造成經濟損失；在區間（100，300]對企業造成經濟損失成直線模型（當API為150時造成的 經濟損失為500元，當API為200時，造成的經濟損失為700元）；當API大于300時造成的 經濟損失為2000元；
（1）試寫出是S（ω）的表達式：
（2）試估計在本年內隨機抽取一天，該天經濟損失S大于200元且不超過600元的概率；
（3）若本次抽取的樣本數據有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面2×2列聯表，并判斷能否有95%的把握認為該市本年空氣重度污染與供暖有關？
附：

P（K2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=

m(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

	非重度污染	重度污染	合計
供暖季
非供暖季
合計			100

Answer 1

考點：獨立性檢驗的應用

專題：綜合題,概率與統計

分析：（1）根據在區間[0，100]對企業沒有造成經濟損失；在區間（100，300]對企業造成經濟損失成直線模型（當API為150時造成的經濟損失為500元，當API為200時，造成的經濟損失為700元）；當API大于300時造成的經濟損失為2000元，可得函數關系式；
（2）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，頻數為39，即可求出概率；
（3）根據所給的數據，列出列聯表，根據所給的觀測值的公式，代入數據做出觀測值，同臨界值進行比較，即可得出結論．

解答： 解：（1）根據在區間[0，100]對企業沒有造成經濟損失；在區間（100，300]對企業造成經濟損失成直線模型（當API為150時造成的經濟損失為500元，當API為200時，造成的經濟損失為700元）；當API大于300時造成的經濟損失為2000元，可得S（ω）=

0，x∈[0，100] 4ω-100，x∈(100，300] 200，x∈(300，+∞)

；
（2）設“在本年內隨機抽取一天，該天經濟損失S大于200元且不超過600元”為事件A；
由200＜S≤600，得150＜ω≤250，頻數為39，
∴P（A）=

39

100

；
（2）根據以上數據得到如表：

	非重度污染	重度污染	合計
供暖季	22	8	30
非供暖季	63	7	70
合計	85	15	100

K²的觀測值K²=

100×(63×8-22×7)2

85×15×30×70

≈4.575＞3.841
所以有95%的把握認為空氣重度污染與供暖有關．

點評：本題考查概率知識，考查列聯表，觀測值的求法，是一個獨立性檢驗，我們可以利用臨界值的大小來決定是否拒絕原來的統計假設，若值較大就拒絕假設，即拒絕兩個事件無關．