Question

【題目】已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0．
（1）求證：直線l恒過定點；
（2）求直線l被圓C截得的弦長最長與最短的方程．

Answer 1

【答案】
（1）證明：將直線化為直線束方程：x+y﹣4+（2x+y﹣7）=0．聯立方程x+y﹣4=0與2x+y﹣7=0，得點（3，1）；

將點（3，1）代入直線方程，不論m為何值時都滿足方程，所以直線l恒過定點（3，1）

（2）解：當直線l過圓心與定點（3，1）時，弦長最大，代入圓心坐標得m= ．

當直線l垂直于圓心與定點（3，1）所在直線時弦長最短，斜率為2，代入方程得m=

此時直線l方程為2x﹣y﹣5=0，圓心到直線的距離為 ，所以最短弦長為4

【解析】（1）通過直線l轉化為直線系，求出直線恒過的定點；（2）說明直線l被圓C截得的弦長最小時，圓心與定點連線與直線l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦長．