Question

【題目】（用空間向量坐標表示解答）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱長都是4，E是BC的中點，F在CC1上，且CF=1．

（1）求證：EF⊥A1C；
（2）求二面角C﹣AF﹣E的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以A為原點，在平面ABC中過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，

建立空間直角坐標系，

B（2 ，2，0），C（0，4，0），E（ ，3，0），F（0，4，1），A1（0，0，4），

=（﹣ ，1，1）， =（0，4，﹣4），

=0+4﹣4=0，

∴EF⊥A1C．

（2）解： =（ ）， =（0，4，1），

設平面AEF的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x= ，得 =（ ），

平面ACF的法向量 =（1，0，0），

設二面角C﹣AF﹣E的平面角為θ，

則cosθ= = = ．

∴二面角C﹣AF﹣E的平面角的余弦值為 ．

【解析】（1）以A為原點，在平面ABC中過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明EF⊥A1C．（2）求出平面AEF的法向量和平面ACF的法向量，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的平面角的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．