Question

【題目】如圖在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= AD，設E、F分別為PC、BD的中點．

（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：面PAB⊥平面PDC；
（3）求二面角B﹣PD﹣C的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明： ABCD為平行四邊形，

連結AC∩BD=F，F為AC中點，E為PC中點，

∴在△CPA中EF∥PA，且PA平面PAD，EF平面PAD，

∴EF∥平面PAD；

（2）

證明：因為面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD為正方形，

∴CD⊥AD，CD平面ABCD，

所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，

又 ，

所以△PAD是等腰直角三角形，且 ，即PA⊥PD，

CD∩PD=D，且CD、PD面ABCD，PA⊥面PDC，

又PA面PAB，

∴面PAB⊥面PDC；

（3）

解：設PD的中點為M，連結EM，MF，則EM⊥PD，

由（2）知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角，

Rt△FEM中， ， ， ，

故所求二面角的正切值為 ；

【解析】（1）利用線面平行的判定定理：連接AC，只需證明EF∥PA，利用中位線定理即可得證；（2）利用面面垂直的判定定理：只需證明PA⊥面PDC，進而轉化為證明PA⊥PD，PA⊥DC，易證三角形PAD為等腰直角三角形，可得PA⊥PD；由面PAD⊥面ABCD的性質及正方形ABCD的性質可證CD⊥面PAD，得CD⊥PA；（3）設PD的中點為M，連結EM，MF，則EM⊥PD，由（2）可證PD⊥平面EFM，則∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角，通過解Rt△FEM可得所求二面角的正切值；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．