Question

（本小題滿分12分）
如圖，棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別為A₁D₁、A₁B₁、BC的中點，

（1）求證：GC₁//面AEF
（2）求：直線GC₁到面AEF的距離。

Answer 1

（1）見解析 （2） a

試題分析：證明：作B₁C₁中點H，連結EH，BH
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，且E、G、H分別為棱A₁D₁、BC、B₁C₁的中點
∴EHAB，BGHC₁                                   1分
∴四邊形ABHE和四邊形BGC₁H是平行四邊形
∴GC₁//BH,BH//AE                                3分
∴GC₁//AE                                           4分
又∵GC₁面AEF，AE面AEF
∴GC₁//面AEF                                        6分
（2）（6分）
解：∵GC₁//面AEF
∴GC₁到面AEF的距離等于點C₁到面AEF的距離。         1分
∵                                 2分
可求得，AE=AF=，EF=，C₁E=C₁F=
∴                                      4分
∴點C₁到面AEF的距離等于點A到面C₁EF的距離          5分
∵AA₁⊥面A₁C₁
∴直線GC₁到面AEF的距離等于a.                         6分

點評：點面距的求解利用了第一問的結論，將點的位置進行了轉移，有一定的技巧性