Question

10．已知函數f（x）=ax²-（a+3）x-a．
（1）當a=1時，求函數y=f（x）的單調遞增區間；
（2）若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）當a＞0時，若y=f（x）在區間[0，2]上的最小值為-5，求實數a的值．

Answer 1

分析 （1）代入a的值，根據二次函數的性質，求出函數的遞增區間即可；
（2）通過討論a，得到關于a的不等式組，解出即可；
（3）根據函數的單調性求出f（x）的最小值，得到關于a的方程，解出即可．

解答 解：（1）當a=1時，函數為f（x）=x²-4x-1，
所以函數y=f（x）的增區間為[2，+∞）；
（2）由題意得函數f（x）在區間（0，+∞）上為減函數，
當a=0時，f（x）=-3x滿足要求；
當a≠0時，由函數f（x）在區間（0，+∞）上為減函數，
可得：$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ \frac{a+3}{2a}≤0\end{array}\right.$，得：-3≤a＜0，
綜上，滿足條件的實數a的解集為：[-3，0]； 
（3）∵f（x）在區間[0，2]上的最小值為-5，a＞0，
此時函數f（x）=ax²-（a+3）x-a的圖象是開口朝上，對稱軸為直線$x=\frac{a+3}{2a}$＞0，
若$\frac{a+3}{2a}≥2$即0＜a≤1，此時f（x）在[0，2]上單調遞減，
f（x）_min=f（2）=-5得a=1，
若$\frac{a+3}{2a}＜2$，則a＞1，此時當$x=\frac{a+3}{2a}$時，函數f（x）取最小值，
即$a{（\frac{a+3}{2a}）^2}-（a+3）（\frac{a+3}{2a}）-a=-5$，解得$a=\frac{9}{5}$或a=1（舍去），
綜上所述，$a=\frac{9}{5}$或a=1．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查二次函數的性質以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．