Question

20．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的交點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若MR⊥l，垂足為R，且∠NRM=∠NMR，則直線MN的斜率為（　　）

• A． ±8
• B． ±4
• C． ±2$\sqrt{2}$
• D． ±2

Answer 1

分析 過(guò)N作NQ⊥l，交l于Q，NH⊥MR，交MR于H，利用拋物線的定義及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理即可求得線MN的斜率．

解答 解：過(guò)N作NQ⊥l，交l于Q，NH⊥MR，交MR于H，
由拋物線的定義可知：丨MF丨=丨MR丨，丨NF丨=丨MQ丨，
由∠NRM=∠NMR，則△MNR為等腰三角形，
∴丨MQ丨=丨RH丨=丨MH丨=$\frac{1}{2}$丨MR丨，
則丨MN丨=丨MF丨+丨NF丨，
∴丨MN丨=3丨NQ丨，即丨MN丨=3丨MH丨，
則丨NH丨=$\sqrt{丨MN{丨}^{2}-丨MH{丨}^{2}}$=2$\sqrt{2}$丨MH丨
則tan∠NMR=$\frac{丨NH丨}{丨MH丨}$=2$\sqrt{2}$，
則直線的傾斜角α=∠NMR，
則直線MN的斜率k=±tanα=2$\sqrt{2}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．